拉格朗日乘子法几何意义？
谢邀：今晚太累了，先整理这么多，后期我会对其修改，在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。 我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化，即最大值问题可以转化成最小值问题)。
提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法，不同之处在于应用的情形不同。一般情况下，最优化问题会碰到一下三种情况：（1）无约束条件 这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。
将结果带回原函数进行验证即可。（2）等式约束条件设目标函数为f(x)，约束条件为h_k(x)，形如: s.t. 表示subject to ，“受限于”的意思，l表示有l个约束条件。 则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述，这里主要讲拉格朗日法，因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。
例如给定椭球: 求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件 下，求的最大值。 当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法)，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，这时候就需要用拉格朗日乘数法了。
首先定义拉格朗日函数F(x)： （ 其中λk是各个约束条件的待定系数。） 然后解变量的偏导方程： ...... 如果有l个约束条件，就应该有l 1个方程。
求出的方程组的解就可能是最优化值（高等数学中提到的极值），将结果带回原方程验证就可得到解。 回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为 对求偏导得到 联立前面三个方程得到和，带入第四个方程解之 带入解得最大体积为： 至于为什么这么做可以求解最优化？维基百科上给出了一个比较好的直观解释。
举个二维最优化的例子： min f(x,y) s.t. g(x,y) = c 这里画出z=f(x,y)的等高线（函数登高线定义见百度百科）： 绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。
从梯度的方向上来看，显然有d1
