法拉第大喜过望，并对麦克斯韦说：你不应该局限于用数学解释我的观点，而要有所创新。在法拉第的鼓励下，麦克斯韦进一步开拓了自己的观点，并最终总结成四个方程组成的麦克斯韦方程组。为了理解这四个方程，我们首先需要两种数学运算：通量和路径积分。第一个概念是通量。如果电场E垂直穿过一个平面S，我们把电场E和面积S的乘积称为电场通量。
如果电场E和平面S的法线夹一定的夹角，我们可以把电场进行正交分解，再用垂直于平面的分量乘以面积得到电场通量。因为电场E可以用电场线的疏密表示，所以用电场E乘上面积S，实际上表示的就是穿过这个面的磁感线根数。假如各处电场不同，就需要把面积分割成无限多份，用每一小份的电场通量相加。用数学表达式表示就是：同样，磁场穿过一个面时也可以用同样的方法定义磁通量。
用积分符号写作：第二个概念是路径积分。如果一个电场E沿着路径AB的方向，用电场E乘以路径AB的长度L，就得到路径积分。如果电场E与路径AB方向夹一定角度，就把电场进行分解，把沿着AB方向的场分量乘以路径长度L。磁场也有类似的路径积分。如果电场或磁场各处不同，我们就可以把路径AB分成无穷多份，把每一份的路径积分加起来，表示成：需要注意路径并不一定是直线，沿着曲线也有路径积分。
麦克斯韦方程组好了，现在我们知道了一个矢量可以计算通量，也可以计算路径积分。这样我们就可以来理解这四个伟大的方程了。1.电场的有源性麦克斯韦方程组的第一个方程用数学表示了法拉第的第一个观点：电荷会在周围空间产生电场。正电荷会向外发射电场线，负电荷会从周围吸收电场线。电荷的电量越大，所发射或者吸收的电场线越多。
如果我们用一个闭合曲面包围住一个电荷，那么这个闭合曲面上的电场通量就代表了电场线的根数。由于这些电场线都是由曲面内的电荷发射出来的，所以它正比于曲面内所有电荷的代数和。需要注意的是：无论我们所选取的曲面形状如何，只要它包围的电荷相同，它的电通量就是相同的。如果电荷在闭合曲面外，它发射的电场线就既要穿入曲面，又要穿出曲面，这样对曲面的电通量就没有贡献，因此在方程中考虑的电荷量都是曲面内部的电荷。
用公式写作在这个公式中，等号左边部分表示 闭合曲面上的电通量，也就是穿出曲面的电场线根数，等号右边的Σq表示曲面内的电荷代数和，ε0称为真空介电常数。这个方程就是麦克斯韦方程组中的第一个方程，也称为电场高斯定律。这个方程告诉我们：电场是有源场，它的源就是空间中的电荷。2. 磁场的无源性与电场不同，无论是由磁体产生的磁场，还是由电流产生的磁场，磁感线总是闭合的。
磁感线既没有出发点，也没有结束点。比如我们观察通电螺线管的磁场就会发现这个特点。于是，如果我们在空间中做一个闭合曲面，磁感线要么不穿透这个曲面，要么一定是既穿入这个曲面，又穿出这个曲面，因此磁感线的通量为零。这样，麦克斯韦方程组的第二个方程就可以写作：这个方程称为磁场高斯定律，它告诉我们：磁场是无源的，既没有起点也没有终点，而总是闭合的。
3 电场的环路积分麦克斯韦方程组的第三个方程是为了解释法拉第电磁感应定律。比如，当一个磁铁靠近一个导线圈时，导线圈中会产生感应电流。法拉第等人认为：这是因为磁铁靠近时，线圈中的磁通量发生了变化，而且产生的电动势正比于磁通量的变化率。麦克斯韦经过思考，得出了一个设想：电动势的产生是由于有一种电场力推动了电荷，因此变化的磁场可以产生的是涡旋状的电场。
假如有个导体恰好处于涡旋电场之中，就会在导体中产生感应电流。而且，这个涡旋电场的大小是正比于磁通量的变化率的。于是，麦克斯韦把第三个方程写作：方程左边表示沿着一个闭合路径的电场路径积分，它可以表示这个闭合路径上的电动势。而右侧表示磁场变化率的面通量，即磁通量的变化率。这个方程用数学解释了法拉第电磁感应定律的成因，也可以描述成涡旋电场是有旋场。
4. 磁场的环路积分奥斯特时代起，人们就认识到电流周围存在磁场，而且磁感应强度正比于电流。麦克斯韦把这个特点用数学表达式写作：等号左边表示一个任意的闭合路径上的磁场路径积分，右侧表示这个闭合路径所包围的电流之和。不过，麦克斯韦的思想不仅仅局限于此。麦克斯韦设想：既然变化的磁场可以形成涡旋电场，那么变化的电场自然也能形成磁场。
