类比借助计算器表示有理数的呈现方式去初步感悟 估算值与有理数呈现的不同之处，从而引出无理数的慨念。类比有理数的分类方式对实数进行分类，再结合数轴，类比有理数与数轴上点的对应关系去理解无理数、实数与数轴上点的对应关系，建立无理数（数量）与数轴（图形）的一种牢固的一一对应模型。新《数学课程标准》对数学教学活动中概念的建立提出了要求：“抽象数学概念的教学，要关注概念的背景与形成过程，避免机械记忆，要引导学生主动从观察、实验、验证、交流中获得感悟和认识。
对于无理数的学习，笔者借助计算器进行估算，让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，培养学生数感、抽象概括等数学核心素养。在探究活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。让学生主动建构无理数的概念，主动发现无理数与有理数的本质区别，并能结合无理数本质熟练辨析一个数是否为无理数，并能顺利在数系扩充后合理对其进行分类。
案例教学目标：1、理解实数与无理数概念，会进行实数的分类，会判别无理数；（知道扩充新数的一些基本原则，补充：数域的产生要有运算法则，把结合律、交换律等来晒一晒，这就是游戏规则）2、经历体验发现无理数的过程，了解数系扩张的实际应用；3、感受有限、无限、分类讨论、数形结合的思想方法，了解先人为真理而献身的情怀教学重点：实数的概念教学难点：无理数的理解（① 开放开不尽的数又称不尽方根；② 特定结构的数；③ 特殊意义的数π、e）背景介绍数学第一次危机：希帕索斯（Hippasu）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边永远无法用最简整数比来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海。反思与感悟英国学院派作家戴维·诺奇在小说《小世界》中描述了这样一个课堂情境：女博士生安杰莉卡总是坐在教室前排，专注地盯着教授，摊开笔记本，手里拿着笔，却从来没有记下什么。终于有一天，教授忍不住半开玩笑地问她：“难道我连一个值得你记的字都没有说过吗？”她回答道：“塔迪厄教授，给我印象最深的不是您讲了什么，而是您没有说出来的东西……”她晃动着空白的笔记本说：“这是您深邃的沉默的记录。
”我很喜欢这个故事，它机智而幽默地诠释了师生之间、教学之间复杂微妙的关系。就像女博士所认为的那样，令人印象深刻的课堂，或许并不在于教师讲了什么，而在于他所讲之外，是否还创造了一种“深邃的沉默”。“深邃的沉默”可以理解为一种潜在的召唤力量，它能够激发学生的想象、思考和激情。好的教学，仿佛一首好诗作品，在言语之外，充满了无限的暗示能，充满了“深邃的沉默”。
